martes, 3 de enero de 2017

Ejemplo de Planteamiento de Programación Lineal con Variables de Holgura

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Enunciado.
La empresa Y se dedica a la producción y comercialización de diferentes modalidades de mochilas (Mochilas D y Mochilas N). Todos ellos son fabricados utilizando un material sintético similar a la piel y tela. Así, las mochilas D, requieren 1.70 metros de tela y las mochilas N 0.65 metros. La empresa dispone de un presupuesto mensual de 4.000€ para comprar tela, a un precio de 20€/metro.

Las mochilas N están elaborados en una mayor proporción (un 60%) de material sintético que las mochilas D, siendo en éstas la cantidad necesaria de 25cm. El proveedor suministra el material sintético en paños, sabiendo que, aproximadamente, un 20% de los paños se pierde en el proceso de cortado.

La empresa Y conoce que si compra más de 100 metros de paño al mes, le hará un descuento de un 20% sobre el precio de venta habitual (30 euros/metro) en aquellos metros que adquiera por encima de dicha cantidad. La empresa desea aprovecharse de esta rebaja.

Para la elaboración de las mochilas se cuenta con 6 trabajadores que trabajan 8 horas al día, durante 20 días al mes. Tres trabajadores conjuntamente son capaces de elaborar 20 mochilas N en una hora. Sin embargo, para fabricar 5 mochilas D un trabajador necesita todo un día de trabajo.

La empresa distribuye sus productos en furgonetas con una capacidad máxima de 80 mochilas cada una. Dispone de tres furgonetas que realizan un viaje a la semana (entre ida y vuelta). Los gastos que suponen cada viaje ascienden a 250€. La empresa vende sus productos a 40€ las mochilas N y a 60€ las mochilas D, sabiendo que la demanda de éstas representa como mínimo el triple que las mochilas N.

Los trabajadores reciben un sueldo fijo de 1.800€ al mes cada uno. Sin embargo, la empresa, además, incurre en un coste de ociosidad de 20 céntimos por cada minuto que sus empleados están sin trabajar.

Con toda esta información, plantee el problema en términos de programación lineal para el próximo mes, teniendo en cuenta que la empresa desea .maximizar sus beneficios.

Solución.

X1 = nº de mochilas D a fabricar al mes
X2 = nº de mochilas N a fabricar al mes

Presupuesto de tela

20 * 1,7 * X1 + 20 * 0,65 * X2 <= 4.000 euros

Material sintético

0,8 * 25 * X1 + 0,8 * 25 * 1,6 * X2 > 100 * 100 cm
Se resta un 20% porque se pierde en el proceso productivo, es decir, hay una merma. Las mochilas N tienen un 60% más de material que las mochilas D,por eso necesitan 1,6* 25. Interesa comprar más de 100 metros para que le apliquen el descuento.


Taller

20/3 Mochilas N------ 1 hora
1---------- X

X = 3 / 20 horas/mochila N

5 Mochilas D----- 8 horas
1------------ X hora

X = 8 / 5 horas/mochilas D

8 * X1 / 5 + 3 * X2 / 20 <= 6 * 8 * 20 horas de elaboración

Furgonetas

X1 + X2 <= 3* 80* 4 mochilas

X1 >= 3 * X2 proporción de mochilas

X1, X2 >=0

Z (max) = 60 * X1 + 40 * X2 – 6 * 1800 – 250 * 4 * 3 – (1,7 * 20 * X1 + 20 * 0,65 * X2) –
30 * (0,8 * 25 * X1 + 0,8 * 25 * 1,6 * X2) + h2 * 20% 30 – 0,2 * h3 * 60 
(ingresos ventas de las mochilas de D + ingresos por ventas de las mochilas N – sueldos de los trabajadores – coste de furgonetas – costes de tela – coste de paños sintéticos + descuento por lo que se compra de paños sintéticos por encima de 100 metros – coste de ociosidad de los trabajadores)

Siendo h2 = variable de holgura de la segunda restricción, sobrecapacidad de paños sintéticos, es decir, lo que se utiliza por encima del mínimo.


Siendo h3 = variable de holgura de la tercera restricción, capacidad ociosa de tiempo de trabajo medido en horas, es decir, las horas sobrantes en el taller. 

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