martes, 2 de octubre de 2012

Ejemplo de las Cadenas de MarKov aplicadas a estudiar patrón de compra a consumidores de una determinada marca o producto



ejemplo-de-resolucion-de-cadenas-de-markov
Supongamos una empresa de distribución que acaba de abrir en una ciudad, con un mercado de 30.000 familias con un consumo medio por familia de 400 euros mensuales en alimentación, un nuevo hipermercado.

Hasta el momento actual sólo existían en la ciudad dos hipermercados y múltiples supermercados. En el último mes el 85% del mercado correspondió a los citados hipermercados.

Las previsiones para el mes que entra son las siguientes:

El 70% de las familias que en el mes anterior hicieron sus compras en algún hipermercado no comprarán este mes en supermercados.

El nuevo hipermercado conseguirá quitar, en su primer mes de apertura, a los otros dos hipermercados un número de compradores equivalente al doble de clientes que estos últimos conseguirán arrebatar a los supermercados.

El número de clientes que de los hipermercados antiguos pasarán a comprar a los supermercados este mes será cinco veces los que éstos perderán a favor de aquellos.

La fidelidad de las familias a seguir comprando en los supermercados se estima en tan sólo un 20%.

El nuevo hipermercado que se acaba de crear tienen previsto que un 40% de sus clientes se mantengan fieles al mismo, así como que el porcentaje de clientes que cada mes pierde se reparte en partes iguales entre hipermercados antiguos y supermercados.

1. Determinar cuál será el volumen de facturación total de los hipermercados frente a los supermercados el próximo mes.

2. ¿Cuál será la cuota de mercado de los supermercados a largo plazo?

Solución

1.

En primer lugar se definen los diferentes Estados, es decir las opciones entre las que puede elegir cada consumidor en el mercado que se está estudiando.

E1= Consumidores del nuevo hipermercado
E2= Consumidores de los antiguos hipermercados
E3= Consumidores de los supermercados

A continuación se van situando los datos de que se disponga, separando los que pertenecen a Vectores Estados o a Matriz de Transición.

Los Vectores Estados son vectores filas formados por las cuotas de mercado de cada marca (Pi), y se calcula Número de consumidores del Estado i / Total de consumidores.

Por ejemplo, en este caso, P1 (cuota de mercado de Estado 1 momento -1 ,mes anterior)= 0 puesto que anteriormente no existía el nuevo hipermercado; P2 (cuota de mercado de Estado 2 momento -1) = 85% 30.000 / 30.000 = 0,85 y como los vectores estados siempre suman 1, el tercer componente se conoce por la diferencia

P (-1) = (0, 0’85, 0’15), siendo P(-1) el vector estado del mes anterior a abrirse el nuevo hipermercado en la ciudad.

La Matriz de Transición está compuesta por todas las probabilidades de cambio (Pij) entre los distintos estados y se leen de fila a columna.

matriz-de-transicion


En este caso concreto la matriz de transición queda de la siguiente manera:

matriz-de-transicion-del-ejemplo


Con esta matriz se está diciendo, por ejemplo, que P11 = 0,4 lo que significa que la fidelidad del Estado 1 (Consumidores del nuevo hipermercado) es del 40%; P32= 0,34 lo que quiere decir que el 34% de los consumidores de supermercados (Estado 3) pasarán al periodo siguiente a consumir en los hipermercados antiguos (Estado 2).

Los datos de esta matriz, en este caso, se han obtenido así:

  • “El 70% de las familias que en el mes anterior hicieron sus compras en algún hipermercado no comprarán este mes en supermercados”.
Por lo tanto, el 30% de los consumidores de hipermercados consumieron al periodo siguiente en supermercados, por lo tanto, P13= P23= 0,3

  • “El nuevo hipermercado conseguirá quitar, en su primer mes de apertura, a los otros dos hipermercados un número de compradores equivalente al doble de clientes que estos últimos conseguirán arrebatar a los supermercados.
Los Pij= (Número de consumidores que pasan del Ei al Ej del momento n al n+1) / Número de consumidores del Ei en el momento n

    P21 (consumidores de los hipermercados antiguos que se cambian al nuevo) = 2X / 25.500

Siendo el denominador los consumidores de hipermecados antiguos en el momento anterior, es decir, 85% de 30.000 = 25.500

P32 (consumidores de supermercados que pasan a consumir a los hipermercados antiguos) =
X / 4.500

Siendo el denominador los consumidores de supermercados en el momento anterior, es decir, 15% de 30.000 = 4.500

  • “El número de clientes que de los hipermercados antiguos pasarán a comprar a los supermercados este mes será cinco veces los que éstos perderán a favor de aquellos”.

P23 (consumidores de hipermercados antiguos que pasan a consumir en supermercados) =
5Y / 25.500; pero sabemos, por el primer punto, que P23 = 0,3. Por lo tanto despejando,
5Y / 25.500 = 0,3, se puede calcular Y = 1.530

P32 (consumidores de supermercados que pasan a consumir a los hipermercados antiguos) =
Y / 4.500. Y además por el párrafo anterior tenemos que P32 = X / 4.500, por lo tanto podemos asegurar que X = Y = 1.530

Luego P21 = 2X / 25.500 = (2* 1.530) / 25.500 = 0,12; P32 = X / 4.500 = 1.530 / 4.500 = 0,34

Como todas las filas de la Matriz de Transición suman 1, por diferencia P22 = 0,58

  • “La fidelidad de las familias a seguir comprando en los supermercados se estima en tan sólo un 20%”.

P33 = 0,2, por lo tanto, y sabiendo que las filas suman 1 en la Matriz de Transición, P31 = 0,46

  • “El nuevo hipermercado que se acaba de crear tienen previsto que un 40% de sus clientes se mantengan fieles al mismo, así como que el porcentaje de clientes que cada mes pierde se reparte en partes iguales entre hipermercados antiguos y supermercados”.

P11 = 0,4 y por lo tanto el P12 = 0,3

Así se ha obtenido la Matriz de Transición completa.

Ahora, utilizando la fórmula de las cadenas de Markov, donde se afirma que P (n) * M = P (n+1)
podemos calcular el Vector Estado del próximo mes.

P (-1) * Mt = P (0); P (0) = ( 0'171, 0'544, 0'285)

Esto quiere decir que para un mercado con 30.000 consumidores:

En los hipermercados nuevos = 30.000 * 0'171= 5.130 consumidores en el mes actual
En los hipermercados antiguos = 30.000 * 0'544= 16.320 consumidores en el mes actual
En los supermercados = 30.000 * 0'285= 8.550 consumidores en el mes actual

Por lo que el volumen de facturación de cada uno, sabiendo que cada consumidor gasta una media de 400 euros:

En los hipermercados nuevos = 5.130 * 400 = 2.052.000 euros
En los hipermercados antiguos = 16.320 * 400 = 6.528.000 euros
En los supermercado = 8.550 * 400 = 3.420.000 euros.


2.

Por otra parte, para conocer la cuota de mercado a largo plazo de los supermercados hay que comprobar, en primer lugar si la matriz es ergódica.

Una Matriz de Transición es ergódica si tiene un autovalor igual a 1 y el resto de los autovalores son menores que 1. Por lo que será necesario calcular los autovalores de la matriz.

determinante-matriz-transicion-para-comprobar-ergodismo


Se desarrolla el determinante y llegamos a una ecuación de tercer grado donde al resolverla se obtienen los autovalores de forma que: λ = 1; λ = -0'1 y λ = 0,28.

Por lo tanto, como un autovalor es igual a 1 y el resto menor que 1 esta matriz es ergódica, esto implica que existe un vector estado estable, de forma que, en el largo plazo, no variarían las cuotas de mercado de cada marca, salvo que cambien las condiciones de mercado.

Sea P (n) = ( X, Y, Z) Vector de estabilidad o Vector de equilibrio, P (n) * M = P (n); es decir que
(X, Y, Z) * M = (X, Y, Z).

Como de cada matriz de transición nxn se puede conseguir n-1 ecuaciones independientes y se sabe que la suma del vector estado es siempre 1, nos encontramos con un sistema de ecuaciones que nos permitirá calcular los elementos del vector de equilibrio,

0,4*X + 0,12*Y + 0,48*Z = X (Utilizando la primera columna de la matriz de transición)
0,3*X + 0,58*Y + 0,34*Z = Y (Utilizando la segunda columna de la matriz de transición)
X + Y + Z = 1

Al resolverlo se obtiene: X = 0,29; Y = 0,42 y Z = 0,27

Por lo tanto, el Vector de Estabilidad de este mercado a largo plazo sería (0'29, 0'42, 0'27), siendo la cuota a largo plazo de los supermercados, salvo que cambien las condiciones de mercado, el 27% del total de los consumidores, 27% de 30.000, 8.100 consumidores.


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