jueves, 13 de septiembre de 2012

Resolución Programación Lineal mediante el Método Gráfico (ejemplo)

resolucion-programacion-lineal-mediante-metodo-grafico
Programación Lineal es un sistema de inecuaciones que representan las restricciones de los recursos limitados de la empresa y que tras resolverlas se obtiene la cantidad de productos que le interesa producir con dichos recursos limitados para cumplir el objetivo impuesto (maximizar beneficios o minimizar costes).
 
Existen dos métodos de resolución, el método simplex (que se ha desarrollado en varios artículos anteriores) y el método gráfico. 

Los principales inconvenientes para la utilización del método gráfico, en la resolución del programación lineal, es que es necesario que sólo existan dos variables para poder dibujar en dos dimensiones y que no da información sobre las variables holguras (cantidad de recurso limitado ocioso o excedente). 

El procedimiento para la resolución mediante el método gráfico es, sin embargo, bastante más sencillo que el del método simplex.    

Sus pasos son los siguientes:

 1. Se dibujan las rectas que represetan las restricciones para acotar su área. 

 2. Una vez que están todas dibujadas tenemos un área acotada que representan los puntos que cumplen todas las restricciones.

 3. Se dibujan rectas paraletas a la función objetivo hasta que se encuentre el punto, dentro del área acotada, que haga que la función objetivo obtenga el máximo beneficio o el mínimo coste según cuáles sean las condiciones dadas.  

Ejemplo:  

Supongamos el siguiente plantemiento: 

Z(max) = 6X1 + 3X2  

3X1 + 2X2 <= 18 horas (restricción número 1) 
4X1 + 5X2 >= 20 Kg (restricción número 2) 
5X1 + X2 <= 15 cm (restricción número 3)

 X1, X2 >= 0

Para dibujar las rectas que representan las restricciones, simplemente se igualan a cero y se les da dos valores:  

3X1 + 2X2 = 18 horas (restricción número 1) Puntos para dibujar la recta 1, por ejemplo X1 = 0 entonces X2 = 9 y X2 = 0 y entonces X1 = 6, por lo tanto los puntos son (0,9) y (6,0)

4X1 + 5X2 = 20 Kg (restricción número 2)Puntos para dibujar la recta 2, por ejemplo X1 = 0 entonces X2 = 4 y X2 = 0 y entonces X1 = 5, por lo tanto los puntos son (0,4) y (5,0)

5X1 + X2 = 15 cm (restricción número 3)Puntos para dibujar la recta 3, por ejemplo X1 = 0 entonces X2 = 15 y X2 = 0 y entonces X1 = 3, por lo tanto los puntos son (0,15) y (3,0)

Con estos puntos podemos dibujar las tres restas y acotar el área de forma que todos los puntos que queden por debajo de las rectas 1 y 3 (incluyendo los puntos de la recta) cumplen la restricción, puesto que son <= y todos los puntos que queden por encima de la recta 2 (incluyendo los puntos de dicha recta) cumplen la restricción, puesto que es >=. Así, el área acotada queda de la siguiente manera:  
 
grafico-para-acotar-area-restringida

Una vez que hemos acotado el área se dibuja la recta con Z = 0 y se hacen paralelas hasta encontrar una que haga máximo la función objetivo dentro de la zona acotada.  
 
punto-optimo-metodo-grafico-programacion-lineal

Por lo tanto, en este caso, la solución es el punto donde cruza las restricciones 1 y 3, concretamente el punto (1'71, 6'45) (Si gráficamente no se puede ver con exactitud porque la gráfica no esté dibujada a la perfección se calcula el punto de corte entre ambas rectas).

En definitiva, la solución para este problema de programación lineal sería X1 = 1'71 unidades de producto tipo 1 y X2 = 6'45 unidades de producto tipo 2   

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