Conceptos para las cadenas de Markov

Una Cadena de Markov es una serie de acontecimientos, en los que la probablidad de que ocurra uno depende del inmediatamente anterior. Una de las utilidades de los Modelos de Markov, en la que se va a centrar este artículo, es analizar los patrones de compra de los consumidores de un determinado producto o marca concreta.

Los conceptos necesarios para describir una Cadena de Markov son los siguientes:

1. Estados (E_i, i=1,…, n). Son aquellas opciones entre las que pueden elegir los consumidores. Para que los estados formen parte del mismo mercado es necesario que todos los consumidores de dicho mercado tenga acceso a todos los estados en igualdad de condiciones.
2. Cuota de mercado o Estado de probabilidad (P_i, i=1,.., n). Es la probabilidad de consumir el Estado i en el momento n. Siempre estará situado en 0 ≤ P_i ≤ 1. Se calcula con la siguiente fórmula:

P_i = (Número de consumidores del Estado i en el momento n) / (Número de consumidores totales)

3. Vector estado (Pn). Es un vector fila formado por las cuotas de mercado del momento n. Los elementos de este vector suman siempre 1.

Pn= (P₁, P₂, P₃,…, P_i)

4. Probabilidad de cambio (P_ij i=1,…, n y j=1,…, n). Es la probabilidad de que un consumidor que esté en el Estado i en el momento n pase al Estado j en el momento n+1. Siempre estará situado en 0 ≤ P_ij ≤ 1. Se calcula con la siguiente fórmula:
   P_ij = (Número de consumidores del Estado i en el momento n que se pasan al Estado j en el momento n+1) / (Número de consumidores totales del Estado i en el momento n)

5. Matriz de transición (Mt). Es la matriz formada por las distintas probabilidades de cambio. Sus filas siempre suman 1.
   

   

6. Cadenas de Markov. Utilizando una serie de herramientas estadísticas y por tratarse de un proceso estocástico (un conjunto de variables aleatorias que evolucionan en función, normalmente, del tiempo) la conclusión a la que se llega es:

P_n * Mt = P_n+1

Es decir, que al multiplicar el vector estado del momento n por la matriz de cambio o matriz de transición se puede obtener el vector estado del momento n+1.

Y por lo tanto mediante inducción, podemos llegar a:

Si n = 0 P_o * M = P₁

Si n = 1 P₁ * M = P_{2 →} P_o * M *M = P_{2 →} P_o* M² = P₂

Si n = 2 P₂ * M = P_{3 →} P₀ *M²* M = P_{3 →} P₀*M³ = P₃

_.

.

.

Por lo tanto obtenemos la siguiente fórmula de las Cadenas de Markov:

P₀*Mⁿ = P_n

Es decir, que conociendo las probabilidades de consumo de cada producto o marca en el momento actual y conociendo las probabilidades de cambio, se puede saber la probabilidad de consumo de cada marca o producto en cualquier momento del tiempo, siempre y cuando no cambien las condiciones de mercado (los distintos estados, el número total de consumidores, la matriz de transición...).

7. Vector Equilibrio o Vector de Estabilidad. Es aquel que se obtiene a largo plazo si la matriz de transición cumple la característica del ergodismo. Es un vector estable que nunca se modificará salvo que cambien las condiciones de mercado.

Sea un Pn= (X, Y, Z…) vector de estabilidad; pues Pn* Mt= Pn siempre y cuando la matriz sea ergódica.

8. Matriz ergódica. Una matriz es ergódica si su primer autovalor es uno y el resto de los autovalores menores que uno.
9. Estado absorvente. Es aquél estado cuya probabilidad de pasar de uno a otro es nula. Por ejemplo, si el primer estado fuera absorvente, la matriz de transición quedaría así:
   
   

   

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Ejemplo de Cálculo de la Tasa de Actualización o Tasa de Descuento para la Valoración de Proyectos de Inversión

Como se ha explicado anteriormente en otros artículos la tasa de actualización (K) representa el valor del dinero con el paso del tiempo, es decir, el la rentabilidad media que un inversor exigiría a un proyecto actualizando a valor de hoy los flujos de efectivos estimados para dicho proyecto.

La tasa de actualización se calcula mediante el TIR de financiación, como se ha comentado en otra entrada, sin embargo, dada la dificultad que tiene su cálculo haremos un ejemplo que ilustre los conceptos teóricos expuestos anteriormente.

Ejemplo:

Supongamos los siguientes datos:

La financiación necesaria para el proyecto sería:

Préstamo 1 a largo plazo de 20.000 euros a un interés del 3% a devolver en 4 años en partes iguales.

Préstamo 2 a largo plazo de 5.000 euros a un interés del 4% a devolver en un sólo pago dentro de 3 años.

Proveedores de inmovilizado a largo plazo en 8.000 euros a un interés del 5% a devolver en 2 años en partes iguales

Aportación de los socios de 30.000 euros con un distribución de beneficios, siempre que sea posible del 10% de lo aportado.

Horizonte temporal del proyecto de financiación 4 años.

Por simplificar supondremos que todos los años, excepto el tercero se obtienen beneficios suficientes para repartir los dividendos acordados y que al final del horizonte temporal existen en la empresa unas reservas por valor de 4.000 euros.

Con estos datos, tenemos que:

Total de la financiación inicial= 20.000 + 5.000 + 8.000 + 30.000= 63.000 euros

Devolución + Intereses + Dividendos del año 1= 5.000 (préstamo 1) + 600 (intereses del préstamo 1) + 200 (intereses del préstamo 2) + 4.000 (pago a proveedores inmovilizado) + 400 (intereses de los proveedores de inmovilizado) + 3.000 (dividendos) = 13.200 euros

Devolución + Intereses + Dividendos del año 2= 5.000 (préstamo 1) + 450 (intereses del préstamo 1) + 200 (intereses del préstamo 2) + 4.000 (pago a proveedores inmovilizado) + 200 (intereses de los proveedores de inmovilizado) + 3.000 (dividendos) = 12.850 euros

Devolución + Intereses + Dividendos del año 3= 5.000 (préstamo 1) + 300 (intereses del préstamo 1) + 200 (intereses del préstamo 2) + 5.000 (devolución del préstamo 2) + 0 (dividendos porque no hay beneficio neto suficiente) = 10.500 euros

Devolución + Intereses + Dividendos del año 4= 5.000 (préstamo 1) + 150 (intereses del préstamo 1) + 3.000 (dividendos) + 34.000 (de capital y reservas para devolución de los capitales propios al final del proyecto) = 42.150 euros

Por lo tanto la fórmula del Tir de Financiación para este proyecto queda de la siguiente manera:

0=+63.000 – 13.200/(1+r) – 12.850/(1+r)^{2 –} 10.500/(1+r)³ – 42.150/(1+r)⁴

Para calcular la r (TIR) serán necesario efectuar tres pasos:

1. Calcular la r de Schneider

rs= (63.000 - 13.200 – 12.850 – 10.500 – 42.150) / (-1*13.200 – 2*12.850 – 3*10.500 – 4*42.150)

rs= 0,065= 6,5% Esto es una aproximación por defecto de forma que la r que buscamos es, con certeza, mayor que 6,5 %

2. Prueba y error.

Se despeja el valor de la financiación inicial

63.000 = 13.200/(1+r) + 12.850/(1+r)² + 10.500/(1+r)³ +42.150/(1+r)⁴

Prueba y error consiste en sustituir, en la fórmula, valores mayores que la r_s para calcular la financiación que se obtendría con este %, hasta conseguir dos TIR uno que proporcione un valor de financiación mayor y otro que la proporcione menor que la estimada para este proyecto, de forma que el valor de la financiación inicial del proyecto quede acotado.

r₁= 7% (Se calcula el valor de la financiación inicial con este valor de r sustituyendo en la fórmula que acabamos de despejar)

Financiación ₁ = 13.200/(1+0,07) + 12.850/(1+0,07)² + 10.500/(1+0,07)³ +42.150/(1+0,07)⁴

Financiación ₁= 64.287,29

r₂= 8% Financiación₂ =13.200/(1+0,08) + 12.850/(1+0,08)² + 10.500/(1+0,08)³ +42.150/(1+0,08)⁴

Financiación₂= 62.555,77

Como la financiación total de nuestro proyecto tiene un valor de 63.000 euros, se encuentra entre los valores de Financiación 1 y Financiación 2, por lo tanto el TIR que buscamos está comprendido entre 7 % y 8%

3.Interpolación.

Utilizando la regla de los triángulos rectángulos de sus lados proporcionales obtenemos lo siguiente:

(64.287,29 – 62.555,77)/(63.000 - 62.555,77)= (8 – 7)/(8 - r)

Se despeja el valor de r y ya tenemos el TIR del proyecto de financiación que es la tasa de actualización (K) del proyecto de inversión.

r financiación = K inversión =7,74 % 

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Dimensión financiera de la financiación. Tasa de actualización o Tasa de descuento.

La Tasa de actualización o tasa de descuento es la rentabilidad mínima que un inversor exigiría a un proyecto. Es el interés mediante el cuál se cubrirían los costes de producción e inversión y se alcanzaría beneficios.

Se emplea para actualizar los flujos monetarios, es decir, es el tanto por ciento de interés al cual los valores futuros se actualizan al valor actual del dinero, dado que éste cambia con el paso del tiempo.

La tasa de actualización se puede calcular, de forma simplificada, como el valor medio ponderado de los capitales:

CMPC= (Intereses + Dividendos) / (Neto + Pasivo)

O se puede calcular, más correctamente, actualizando los intereses, los dividendos, las amortizaciones financieras de capitales propios y de capitales ajenos, o dicho de otro modo como el TIR de Financiación.

La fórmula del TIR de Financiación es similar a la del TIR (TIR de Inversión para valorar la viabilidad de los proyectos) pero cambian los signos (en el momento cero se recibe la financiación y en el resto del horizonte temporal se pagan intereses, dividendos y se devuelven tanto los préstamos como las aportaciones de los socios al final del proyecto).

En definitiva, la fórmula quedaría de la siguiente manera:

0 = (Pasivos + netos) - (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₁ / (1 + r) - (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₂ / (1 + r)² - (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₃ / (1 + r)³ -…-(Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos + Capital aportado +Reservas) _n / (1 + r)ⁿ

Siendo r= TIR del proyecto de Financiación = Tasa de actualización del proyecto de Inversión (K).

Ahora bien para calcular el TIR (r) es necesario realizar los tres pasos siguientes:

• Calcula la aproximación de Schneider. Es una fórmula que calcula una aproximación por defecto, es decir, que el TIR que se está buscando será siempre mayor que el de Schneider
  r_s = (+(Pasivos +Netos) - (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₁ - (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₂ - (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₃ - … - (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos + Capital aportado +Reservas)_n) / (-1 * (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)_{1 –} 2 * (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₂ - 3 * (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos)₃ - … - n * (Pago de intereses + Devolución de pasivos + Dividendos + Capital aportado +Reservas)_n)
  
  
• Prueba y error. Probar con r, mayores que la r_s, hasta acotar el valor de la financiación inicial total.
  
  
• Interpolación.

Se han formado dos triángulos. Uno con los segmentos (Pasivos+ Netos)₁ a (Pasivos+ Netos)₂ y r₁ a r₂ y otro con (Pasivos+ Netos) a (Pasivos+ Netos)₂ y r a r_2. Por lo tanto, utilizando la propiedad de los triángulos rectángulos de que sus lados son proporcionales tendremos una formula de donde se podrá despejar el valor de r.

((Pasivos+ Netos)1-(Pasivos + Netos)2)/((Pasivos + Netos)-(Pasivos + Netos)2)=(r2-r1)/(r2-r)

De esta forma, se obtiene la tasa de actualización (K) necesaria para la valoración de proyectos ya sea por el Método del VAN ( Valor actualización neto) o por el Método del TIR (Tanto interno de rendimiento).

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Resolución Programación Lineal mediante el Método Gráfico (ejemplo)

Programación Lineal es un sistema de inecuaciones que representan las restricciones de los recursos limitados de la empresa y que tras resolverlas se obtiene la cantidad de productos que le interesa producir con dichos recursos limitados para cumplir el objetivo impuesto (maximizar beneficios o minimizar costes).
 
Existen dos métodos de resolución, el método simplex (que se ha desarrollado en varios artículos anteriores) y el método gráfico. 

Los principales inconvenientes para la utilización del método gráfico, en la resolución del programación lineal, es que es necesario que sólo existan dos variables para poder dibujar en dos dimensiones y que no da información sobre las variables holguras (cantidad de recurso limitado ocioso o excedente). 

El procedimiento para la resolución mediante el método gráfico es, sin embargo, bastante más sencillo que el del método simplex.    

Sus pasos son los siguientes:

 1. Se dibujan las rectas que represetan las restricciones para acotar su área. 

 2. Una vez que están todas dibujadas tenemos un área acotada que representan los puntos que cumplen todas las restricciones.

 3. Se dibujan rectas paraletas a la función objetivo hasta que se encuentre el punto, dentro del área acotada, que haga que la función objetivo obtenga el máximo beneficio o el mínimo coste según cuáles sean las condiciones dadas.  

Ejemplo:  

Supongamos el siguiente plantemiento: 

Z(max) = 6X1 + 3X2  

3X1 + 2X2 <= 18 horas (restricción número 1) 
4X1 + 5X2 >= 20 Kg (restricción número 2) 
5X1 + X2 <= 15 cm (restricción número 3)

 X1, X2 >= 0

Para dibujar las rectas que representan las restricciones, simplemente se igualan a cero y se les da dos valores:  

3X1 + 2X2 = 18 horas (restricción número 1) Puntos para dibujar la recta 1, por ejemplo X1 = 0 entonces X2 = 9 y X2 = 0 y entonces X1 = 6, por lo tanto los puntos son (0,9) y (6,0)

4X1 + 5X2 = 20 Kg (restricción número 2)Puntos para dibujar la recta 2, por ejemplo X1 = 0 entonces X2 = 4 y X2 = 0 y entonces X1 = 5, por lo tanto los puntos son (0,4) y (5,0)

5X1 + X2 = 15 cm (restricción número 3)Puntos para dibujar la recta 3, por ejemplo X1 = 0 entonces X2 = 15 y X2 = 0 y entonces X1 = 3, por lo tanto los puntos son (0,15) y (3,0)

Con estos puntos podemos dibujar las tres restas y acotar el área de forma que todos los puntos que queden por debajo de las rectas 1 y 3 (incluyendo los puntos de la recta) cumplen la restricción, puesto que son <= y todos los puntos que queden por encima de la recta 2 (incluyendo los puntos de dicha recta) cumplen la restricción, puesto que es >=. Así, el área acotada queda de la siguiente manera:  
 

Una vez que hemos acotado el área se dibuja la recta con Z = 0 y se hacen paralelas hasta encontrar una que haga máximo la función objetivo dentro de la zona acotada.  
 

Por lo tanto, en este caso, la solución es el punto donde cruza las restricciones 1 y 3, concretamente el punto (1'71, 6'45) (Si gráficamente no se puede ver con exactitud porque la gráfica no esté dibujada a la perfección se calcula el punto de corte entre ambas rectas).

En definitiva, la solución para este problema de programación lineal sería X1 = 1'71 unidades de producto tipo 1 y X2 = 6'45 unidades de producto tipo 2   

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Fuentes de Financiación. Parte IV. Financiación interna o autofinanciación.

La financiación interna procede de los recursos generados por la propia empresa en el ejercicio de su actividad. Resulta una fuente de financiación sin coste adicional y aumenta la capacidad de endeudamiento de la empresa puesto le supone una menor cantidad de obligaciones de pago. Sin embargo, esta modalidad de financiación tiene su eficacia limitada a la lentitud de su aportación, requiere tiempo para que la generación de riqueza interna tenga un valor real.

Las formas de autofinanciación son:

• Financiación interna de mantenimiento (Fondos de amortización).
  Desde el punto de vista contable la amortización es la valoración de la pérdida irreversible, sistemática y previsible del valor de los bienes bien por su uso o por su obsolescencia. Al contabilizar este consumo, este gasto, el resultado del periodo se reduce suponiendo para la empresa un menor pago de dividendos e impuestos y por lo tanto un ahorro. Este capital ahorrado tiene como objetivo la adquisición de nuevos inmovilizados a la finalización de la vida útil del que se está amortizando. Hasta que llegue el momento de utilizar esos fondos para la reposición de los activos, se encontrarán invertidos en algunos bienes o derechos.
  El objeto de la amortización o financiación interna de mantenimiento, por tanto, es mantener la capacidad económica de la empresa.

• Financiación interna de enriquecimiento (Reservas). Son fondos que se constituyen a partir de los beneficios generados por la empresa y no distribuidos entre los propietarios. Es decir, es la parte de los resultados que no se reparten en forma de dividendos. Existen diversos tipos de reservas, las más usuales son:
  • Reserva Legal, es obligatoria para las empresas. Es necesario guardar cada año un 10% del resultado hasta alcanzar como mínimo el 20% del capital social. A partir de esta cantidad se podrá disponer del exceso si la empresa así lo estima oportuno.
  • Reserva Estatutaria, tanto sus límites como su disponibilidad depende de cada empresa y de sus estatutos internos.
  • Reservas voluntarias, es la reserva de libre disposición para la empresa.
  El objetivo de las reservas o financiación interna de enriquecimiento, por tanto, es acometer nuevas inversiones y que la empresa crezca.
  
  

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Excel de la Cuenta de Pérdidas y Ganancias Abreviada

Según el Real Decreto Legislativo 1/2012 de 2 de julio, por el que se aprueba el texto refundido de la Ley de Sociedades de Capital, en su artículo 258, existen una serie de requisitos para que las empresas puedan presentar la Cuenta de Pérdidas y Ganancias abreviada. En caso de no cumplirlos será obligatorio su presentación en el modelo normal que se ha publicado en este blog anteriormente.

En definitiva, podrán presentar el modelo abreviado para la Cuenta de Resultado aquellas sociedades que durante dos ejercicios consecutivos reúnan al menos dos de las siguientes circunstancias a fecha de cierre:

1. Que el total de las partidas de activo no supere los 11.400.000 euros.

2. Que el importe neto de su cifra anual de negocios no supere los 22.800.000 euros.

3. Que el número medio de trabajadores durante el ejercicio no supere a 250.

En ningún caso las sociedades cotizadas pueden presentar Cuentas Anuales abreviadas.

Cuando una empresa cumpla los requisitos para formular los Estados Contables abreviados no tendrá obligación de presentar los Estados de Flujos de Efectivos (EFE).

La estructura de la Cuenta de Pérdidas y Ganancias Abreviada es la siguiente:

1. Importe neto de la cifra de negocios

2. Variación de existencias de productos terminados y en curso de fabricación

3. Trabajos realizados por la empresa para su activo

4. Aprovisionamientos

5. Otros ingresos de explotación

6. Gastos de personal

7. Otros gastos de explotación

8. Amortización de Inmovilizado

9. Imputación de subvenciones de inmovilizado financiero y otras

10. Exceso de provisión

11. Deterioro y resultados por enajenación de inmovilizado

A) RESULTADO DE EXPLOTACIÓN

12. Ingresos financieros

13. Gastos financieros

14. Variación de valor razonable en instrumentos financieros

15. Diferencias de cambio

16. Deterioro y resultados por enajenaciones de instrumentos financieros

B) RESULTADO FINANCIERO

C) RESULTADO ANTES DE IMPUESTOS

17.Impuestos sobre sociedades

D) RESULTADO DEL EJERCICIO

En este artículo se publica un Excel fácil, cómodo y sencillo de manejar que ayudará a elaborar La Cuenta de Pérdidas y Ganancias Abreviada.

Si quieres descargártelo pincha aquí o en Material de apoyo de la Mercaleteca

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Comparativa entre los principales métodos de valoración de proyectos - VAN y TIR

En artículos anteriores hemos explicado los conceptos, la interpretación y el cálculo de los dos métodos más usuales de valoración de inventarios el VAN (Valor actualización neto) y el TIR (Tanto interno de rendimiento).

En este documento se comparan ambos métodos obteniendo las siguientes conclusiones:

El VAN representa la rentabilidad absoluta neta y el TIR la rentabilidad relativa bruta.

Tanto con el VAN como con el TIR se conocen los flujos de efectivos.

El TIR se resuelve mediante la tasa de descuento que hace el VAN nulo.

El VAN tiene en cuenta diferencias en las escalas de inversión, el TIR no.

Hay circunstancias en las que se puede encontrar múltiples tasas de TIR mientras que el VAN, ante unas mismas condiciones será único.

Con proyectos mutuamente excluyentes el TIR puede llevar a la elección equivocada del proyecto más rentable por lo que es más recomendable usar el VAN y elegir aquel con mayor valor actualizado neto.

El VAN sólo mide cuanto aumenta la rentabilidad de quien invierte mientras que el TIR compara implícitamente con otras inversiones.

El TIR prima los proyectos que tienen menor duración o los que tienen mayores flujos de caja los primeros años.

El VAN y el TIR dan respuesta idénticas en cuanto a la aceptación o rechazo de un proyecto aunque con informaciones distintas para el inversor siempre y cuando se trate de proyectos independientes con un único TIR.

En definitiva, aunque ambos métodos son válidos y muy utilizados el VAN se presenta como más sólido conceptualmente hablando.

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