Ejemplo de Resolución del Método Simplex para Programación Lineal

En artículos anteriores se ha publicado los conceptos teóricos tanto de Programación Lineal (PL) como de una de sus formas de resolución, el Método Simplex. Sin embargo, y dada su dificultad, en esta entrada nos centraremos en un ejemplo que ayudará a la comprensión de los pasos necesarios para resolver el sistema de inecuaciones de PL mediante el Simplex.

Supongamos el siguiente planteamiento:

X₁ = Número de pañuelos de seda a fabricar a la semana.

X₂ = Número de pañuelos de algodón a fabricar a la semana.

Z (max) = 50X₁ + 30X₂

s. a.

3X₁ + 5X₂ ≥ 30 metros de hilo.

1,5X₁ + 2,5X₂ =40 horas de planchado.

4X₁ + 6X₂ ≤ 50 horas de máquina.

X₁, X₂ ≥ 0

Solución Método Simplex siguiendo los pasos explicados:

1. Convertir las desigualdades en igualdades.

3X₁ + 5X₂ –h₁= 30.

1,5X₁ + 2,5X₂ = 40.

4X₁ + 6X₂ + h₂= 50

X₁, X₂, h₁, h₂ ≥ 0

Z (max)= 50X₁ + 30X₂ + 0h₁ +0h₂

2. Conseguir la matriz identidad dentro de la matriz tecnológica añadiendo las variables artificiales que sean necesarias.

3X₁ + 5X₂ –h₁ + Xa₁= 30

1,5X₁ + 2,5X₂ + Xa₂ = 40

4X₁ + 6X₂ + h₂ =50

X₁, X₂, h₁, h₂, Xa₁, Xa₂ ≥ 0

Z (max) = 50X₁ + 30X₂ + 0h₁ +0h₂ –MXa₁ –MXa₂

3. El programa base está formado por aquellas variables cuyos coeficientes forman la matriz identidad Xa₁, Xa₂, h₂
   
   

4. y 5. Dibujar la tabla y rellenarla. En Pi (la segunda columna del programa efectuable) se colocan las variables del programa base. En Ci (la primera columna del programa efectuable) los rendimientos directos de las variables del programa base y en Xi (la tercera columna del program efectualble) el vector existencia formada por la cantidad de recursos limitados de cada una de las restricciones. En Ci (la fila del cuerpo central de la tabla) se colocan cada uno de los rendimientos directos correspondientes a cada variable y en el resto de la tabla (en su cuerpo central) los coeficientes de cada una de las variables que representan la matriz tecnológica.

6. Calcular los Zi, multiplicando los rendimientos directos del programa efectuable por el vector proceso i. Por ejemplo: Z1= -M*3 + (-M)*1,5 + 0*4= -4,5M; Z2= -M*5 + (-M)*2,5 + 0*6= -3,5M y así sucesivamente

7. Calcular los rendimientos marginales. Wi = Ci – Zi

8. No hemos llegado al óptimo porque existen rendimientos marginales positivos y estamos maximizando, lo que quiere decir que es posible aumentar el beneficio total del programa, por lo tanto continuamos con el paso 9.




9. Se elije para entrar el proceso 2 (P₂) puesto que es el que tiene mayor rendimiento marginal positivo (por lo tanto es el que más aumentaría el beneficio) y como estamos maximizando el objetivo es conseguir el mayor rendimiento posible.

10. Para saber que variable saldría del programa efectuable para que, en su lugar, entre P2, se divide el nivel de la variable (columna Xi) entre vector proceso que entra (columna P2): 30/5= 6; 40/2,5= 16; 50/6= 8,33. Sale aquel proceso con menor cociente positivo por lo tanto el primero, Xa_1.

11. Cambiar los procesos del programa efectuable, P2 en el lugar de Xa₁

12. Calcular la fila del P_{2 ,} dividiendo la fila de Xa₁ (proceso que sale) de la tabla antigua entre el pivotte es 5 (el número que cruza en la tabla antigua entre el proceso que entra P2 y el proceso que sale Xa₁ )

13. Calcular el resto de las filas, con un semipivotte para la fila de Xa2 de 2,5 (número que cruza en la tabla antigua entre P2 y Xa₂ ) y para la fila de h2 de 6 (número que cruza en la tabla antigua entre P2 y h2)

14. Se vuelven a calcular los rendimientos indirectos y se repite el proceso hasta llegar al óptimo. Como el objetivo es maximizar los beneficios, se habrá alcanzado el óptimo cuando todos los rendimientos marginales sean negativos y cero.


Supongamos que hemos llegado a la siguiente tabla óptima y la interpretamos.

NOTA: esta tabla no está calculada, es ficticia, es sólo para explicar como se interpretan las tablas óptimas del simplex.

Todas las variables que no formen parte del programa efectuable son cero. Jamás se puede llegar al óptimo con variables artificiales en el programa efectuable puesto que no tienen significado económico.

X₁= 25 pañuelos de seda a fabricar a la semana.

X₂= 31 pañuelos de algodón a fabricar a la semana.

H₁ = 0 metros de hilo de sobrecapacidad, es decir, la empresa no usa nada por encima del mínimo exigido, por lo tanto utiliza un total de 30 metros de hilo.

H₂ =10 horas máquinas de capacidad ociosa, es decir, a la empresa le sobran 10 horas de las 50 horas máximas establecidas, por lo tanto utiliza un total de 40 horas máquinas.

Xa₁=Xa₂=0 no tiene significado económico.

Z (max) = 50*25 + 30*31 + 0*0 + 0*10 –M*0 –M*0 = 2.180 euros es el máximo beneficio de la empresa con las condiciones dadas.

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Ejemplo de cálculo del TIR como método para valorar proyectos de inversión

Dada la dificultad que tiene el cálculo del TIR de inversión para la valoración de proyectos en este artículo propongo un ejemplo que ilustre los conceptos teóricos expuestos anteriormente.
Ejemplo:

Supongamos los siguientes datos:

A= 10.000, Q₁= 11.000, Q₂= 3.500 y Q₃= 12.600, K= 20% y Valor residual= 1.200

Siendo:

A= Coste de inversión inicial

Qi= Flujos netos de caja, cash-flow, de cada año del proyecto

K= Tasa de actualización o tasa de descuento

Por lo tanto la fórmula del Tir para este proyecto queda de la siguiente manera:

0=-10.000 + 11.000/(1+r) + 3.500/(1+r)² + 12.600/(1+r)³ + 1.200/(1+r)³

Para calcular la r (TIR) serán necesario efectuar tres pasos:

1. Calcular la r de Schneider

rs= (-10.000+11.000+3.500+12.600+1.200)/(1*11.000+2*3.500+3*12.600+3*1.200)

rs= 0,308= 30,8% Esto es una aproximación por defecto de forma que la r que buscamos es, con certeza, mayor que 30,8 %

2. Prueba y error.

Se despeja el coste inicial

10.000 =11.000/(1+r) + 3.500/(1+r)² + 12.600/(1+r)³ + 1.200/(1+r)³

Prueba y error consiste en sustituir, en la fórmula, valores mayores que la r_s para calcular la A que se obtendría con este %, hasta conseguir dos TIR uno que proporcione una A mayor y otro que la proporcione menor que la estimada para este proyecto, de forma que el coste inicial del proyecto quede acotado.

r₀= 31% (Se calcula el valor del coste de inversión inicial con este valor de r sustituyendo en la fórmula que acabamos de despejar)

A₀ =11.000/(1+0,31) + 3.500/(1+0,31)² + 12.600/(1+0,31)³ + 1.200/(1+0,31)³;

A₀= 16.574,99

r₁= 65% A₁ =11.000/(1+0,65) + 3.500/(1+0,65)² + 12.600/(1+0,65)³ + 1.200/(1+0,65)³;

A₁= 11.024,29

r₂= 85% A₂ =11.000/(1+0,85) + 3.500/(1+0,85)² + 12.600/(1+0,85)³ + 1.200/(1+0,85)³;

A₂= 9.148,12

Como la A de nuestro proyecto tiene un valor de 10.000 euros, se encuentra entre A1 y A2 por lo tanto el TIR que buscamos está comprendido entre 65% y 85%

3.Interpolación.

Utilizando la regla de los triángulos rectángulos de sus lados proporcionales obtenemos lo siguiente:

(A_{1 –} A₂)/(A - A₂)= (r_{2 –} r₁)/(r₂ - r); (11.024, 29 – 9.148,12)/(10.000 – 9.148,12)=(85 – 65)/(85 - r)

Se despeja el valor de r y ya tenemos el TIR de este proyecto. r=75,91% , la rentabilidad mínima del proyecto con las condiciones dadas es de 75,9%

Por lo tanto, la rentabilidad relativa neta (r_n) = r – K = 75,91 – 20 = 55,91

Por lo tanto, como la rentabilidad relativa neta es positiva, esto quiere decir que la rentabilidad de este proyecto es mayor que el interés o rentabilidad media del mercado, por lo que el proyecto interesa llevarse a cabo.

NOTICIA CURSO PRECIO EXCEPCIONAL:

Podéis encontrar un curso de Valoración de proyectos :https://www.udemy.com/metodos-de-valoracion-de-proyectos/. 

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Dada la dificultad que tiene el cálculo del TIR de inversión para la valoración de proyectos en este artículo propongo un ejemplo que ilustre los conceptos teóricos expuestos anteriormente.
Ejemplo:

Supongamos los siguientes datos:

A= 10.000, Q₁= 11.000, Q₂= 3.500 y Q₃= 12.600, K= 20% y Valor residual= 1.200

Siendo:

A= Coste de inversión inicial

Qi= Flujos netos de caja, cash-flow, de cada año del proyecto

K= Tasa de actualización o tasa de descuento

Por lo tanto la fórmula del Tir para este proyecto queda de la siguiente manera:

0=-10.000 + 11.000/(1+r) + 3.500/(1+r)² + 12.600/(1+r)³ + 1.200/(1+r)³

Para calcular la r (TIR) serán necesario efectuar tres pasos:

1. Calcular la r de Schneider

rs= (-10.000+11.000+3.500+12.600+1.200)/(1*11.000+2*3.500+3*12.600+3*1.200)

rs= 0,308= 30,8% Esto es una aproximación por defecto de forma que la r que buscamos es, con certeza, mayor que 30,8 %

2. Prueba y error.

Se despeja el coste inicial

10.000 =11.000/(1+r) + 3.500/(1+r)² + 12.600/(1+r)³ + 1.200/(1+r)³

Prueba y error consiste en sustituir, en la fórmula, valores mayores que la r_s para calcular la A que se obtendría con este %, hasta conseguir dos TIR uno que proporcione una A mayor y otro que la proporcione menor que la estimada para este proyecto, de forma que el coste inicial del proyecto quede acotado.

r₀= 31% (Se calcula el valor del coste de inversión inicial con este valor de r sustituyendo en la fórmula que acabamos de despejar)

A₀ =11.000/(1+0,31) + 3.500/(1+0,31)² + 12.600/(1+0,31)³ + 1.200/(1+0,31)³;

A₀= 16.574,99

r₁= 65% A₁ =11.000/(1+0,65) + 3.500/(1+0,65)² + 12.600/(1+0,65)³ + 1.200/(1+0,65)³;

A₁= 11.024,29

r₂= 85% A₂ =11.000/(1+0,85) + 3.500/(1+0,85)² + 12.600/(1+0,85)³ + 1.200/(1+0,85)³;

A₂= 9.148,12

Como la A de nuestro proyecto tiene un valor de 10.000 euros, se encuentra entre A1 y A2 por lo tanto el TIR que buscamos está comprendido entre 65% y 85%

3.Interpolación.

Utilizando la regla de los triángulos rectángulos de sus lados proporcionales obtenemos lo siguiente:

(A_{1 –} A₂)/(A - A₂)= (r_{2 –} r₁)/(r₂ - r); (11.024, 29 – 9.148,12)/(10.000 – 9.148,12)=(85 – 65)/(85 - r)

Se despeja el valor de r y ya tenemos el TIR de este proyecto. r=75,91% , la rentabilidad mínima del proyecto con las condiciones dadas es de 75,9%

Por lo tanto, la rentabilidad relativa neta (r_n) = r – K = 75,91 – 20 = 55,91

Por lo tanto, como la rentabilidad relativa neta es positiva, esto quiere decir que la rentabilidad de este proyecto es mayor que el interés o rentabilidad media del mercado, por lo que el proyecto interesa llevarse a cabo.

NOTICIA CURSO PRECIO EXCEPCIONAL:

Podéis encontrar un curso de Valoración de proyectos :https://www.udemy.com/metodos-de-valoracion-de-proyectos/. 

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Teoría de las Cadenas de Markov

Una cadena de Markov es una serie de acontecimientos, en la cual la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende del inmediatamente anterior y éste último condiciona los futuros acontecimientos.

Esta dependencia de lo anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de acontecimientos independientes como podrían ser tirar un dado o una moneda.

El modelo de Markov es una herramienta ideal para analizar el comportamiento de determinados tipos de procesos estocásticos (un conjunto de variables aleatorias que evolucionan en función de otra variable que suele ser el tiempo) y con número finito de acontecimientos posibles. Representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo. Dichos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores. Probabilidad que es constante y homogénea, a lo largo del tiempo.

Las cadenas de Markov se dicen homogénea si la probabilidad de ir del estado i (la alternativa i) al estado j (alternativa j), del momento n al momento n+1, no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena.

Las cadenas de Markov parten de la base de una matriz de transición constante en el tiempo, es decir, de un conjunto de probabilidades de “consumir" la opción i dependiendo de lo que se ha “consumido” anteriormente.

Por todo ello, las cadenas o modelo de Markov, se aplican habitualmente:

• En la dinámica de las averías de las máquinas de una fábrica para tomar decisiones sobre la política de mantenimiento.
• En la evolución de ciertas enfermedades.
• En el estudio del comportamiento futuro del consumidor siempre y cuando se trate de compras esporádicas donde se tiene en cuenta la experiencia anterior y donde se conozca: comportamiento actual del comprador, las alternativas entre las que puede elegir y su intención de cambio de unas a otras.

Esta herramienta es especialmente útil, y en ellos nos se centrarán próximos artículos, para prever el número de consumidores de una marca determinada siempre y cuando no cambien las condiciones de mercado dadas. Sin embargo, no será posible conocer, con este modelo, los motivos por los que aumentan o disminuyen el número de compradores ni dará solución alguna ante una eventualidad. Se trata, únicamente de una estimación de la cantidad de consumo futuro con un número total de consumidores constante y unas alternativas iguales y permanentes para todos ellos.