En
artículos anteriores se ha publicado los conceptos teóricos tanto
de Programación Lineal (PL) como de una de sus formas de resolución,
el Método Simplex. Sin embargo, y dada su dificultad, en esta
entrada nos centraremos en un ejemplo que ayudará a la comprensión
de los pasos necesarios para resolver el sistema de inecuaciones de
PL mediante el Simplex.
Supongamos
el siguiente planteamiento:
X1
= Número de pañuelos de seda a fabricar a la semana.
X2
= Número de pañuelos de algodón a fabricar a la semana.
Z
(max) = 50X1 + 30X2
s.
a.
3X1
+ 5X2 ≥ 30 metros de hilo.
1,5X1
+ 2,5X2 =40 horas de planchado.
4X1
+ 6X2 ≤ 50 horas de máquina.
X1,
X2 ≥ 0
Solución
Método Simplex siguiendo los pasos explicados:
- Convertir las desigualdades en igualdades.
3X1
+ 5X2
–h1=
30.
1,5X1
+ 2,5X2
= 40.
4X1
+ 6X2
+ h2=
50
X1,
X2,
h1, h2
≥ 0
Z
(max)= 50X1 + 30X2 + 0h1 +0h2
- Conseguir la matriz identidad dentro de la matriz tecnológica añadiendo las variables artificiales que sean necesarias.
3X1
+ 5X2
–h1
+ Xa1=
30
1,5X1
+ 2,5X2
+ Xa2
= 40
4X1
+ 6X2
+ h2
=50
X1,
X2,
h1,
h2,
Xa1,
Xa2 ≥
0
Z
(max) = 50X1
+ 30X2
+ 0h1
+0h2
–MXa1
–MXa2
- El programa base está formado por aquellas variables cuyos coeficientes forman la matriz identidad Xa1, Xa2, h2
- y 5. Dibujar la tabla y rellenarla. En Pi (la segunda columna del programa efectuable) se colocan las variables del programa base. En Ci (la primera columna del programa efectuable) los rendimientos directos de las variables del programa base y en Xi (la tercera columna del program efectualble) el vector existencia formada por la cantidad de recursos limitados de cada una de las restricciones. En Ci (la fila del cuerpo central de la tabla) se colocan cada uno de los rendimientos directos correspondientes a cada variable y en el resto de la tabla (en su cuerpo central) los coeficientes de cada una de las variables que representan la matriz tecnológica.
6.
Calcular los Zi, multiplicando los rendimientos
directos del programa efectuable por el vector proceso i. Por
ejemplo: Z1= -M*3 + (-M)*1,5 + 0*4= -4,5M; Z2= -M*5 + (-M)*2,5 +
0*6= -3,5M y así sucesivamente
7.
Calcular los rendimientos marginales. Wi = Ci – Zi
8.
No hemos llegado al óptimo porque existen rendimientos marginales
positivos y estamos maximizando, lo que quiere decir que es posible
aumentar el beneficio total del programa, por lo tanto continuamos
con el paso 9.
9.
Se elije para entrar el proceso 2 (P2) puesto que es el
que tiene mayor rendimiento marginal positivo (por lo tanto es el
que más aumentaría el beneficio) y como estamos maximizando el
objetivo es conseguir el mayor rendimiento posible.
10.
Para saber que variable saldría del programa efectuable para que,
en su lugar, entre P2, se divide el nivel de la variable (columna
Xi) entre vector proceso que entra (columna P2): 30/5= 6; 40/2,5=
16; 50/6= 8,33. Sale aquel proceso con menor cociente positivo por
lo tanto el primero, Xa1.
11.
Cambiar los procesos del programa efectuable, P2 en el lugar de Xa1
12.
Calcular la fila del P2
, dividiendo la fila de
Xa1
(proceso
que sale) de la tabla antigua entre el
pivotte es 5 (el número que cruza en la tabla antigua entre el
proceso que entra P2 y el proceso que sale Xa1
)
13.
Calcular el resto de las filas, con un semipivotte para la fila de
Xa2 de 2,5 (número que cruza en la tabla antigua entre P2 y Xa2
)
y para la fila de h2 de 6 (número que cruza en la tabla antigua
entre P2 y h2)
14.
Se vuelven a calcular los rendimientos indirectos y se repite el
proceso hasta llegar al óptimo. Como el objetivo es maximizar los
beneficios, se habrá alcanzado el óptimo cuando todos los
rendimientos marginales sean negativos y cero.
Supongamos
que hemos llegado a la siguiente tabla óptima y la interpretamos.
NOTA:
esta tabla no está calculada, es ficticia, es sólo para explicar
como se interpretan las tablas óptimas del simplex.
Todas
las variables que no formen parte del programa efectuable son cero. Jamás se puede llegar al óptimo con variables artificiales en el
programa efectuable puesto que no tienen significado económico.
X1=
25 pañuelos de seda a fabricar a la semana.
X2=
31 pañuelos de algodón a fabricar a la semana.
H1
= 0 metros de hilo de sobrecapacidad, es decir, la empresa no usa
nada por encima del mínimo exigido, por lo tanto utiliza un total de
30 metros de hilo.
H2
=10 horas máquinas de capacidad ociosa, es decir, a la empresa le
sobran 10 horas de las 50 horas máximas establecidas, por lo tanto
utiliza un total de 40 horas máquinas.
Xa1=Xa2=0
no tiene significado económico.
Z
(max) = 50*25 + 30*31 + 0*0 + 0*10 –M*0 –M*0 = 2.180 euros es el
máximo beneficio de la empresa con las condiciones dadas.
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