Ejemplo de Resolución del Método Simplex para Programación Lineal

En artículos anteriores se ha publicado los conceptos teóricos tanto de Programación Lineal (PL) como de una de sus formas de resolución, el Método Simplex. Sin embargo, y dada su dificultad, en esta entrada nos centraremos en un ejemplo que ayudará a la comprensión de los pasos necesarios para resolver el sistema de inecuaciones de PL mediante el Simplex.

Supongamos el siguiente planteamiento:

X₁ = Número de pañuelos de seda a fabricar a la semana.

X₂ = Número de pañuelos de algodón a fabricar a la semana.

Z (max) = 50X₁ + 30X₂

s. a.

3X₁ + 5X₂ ≥ 30 metros de hilo.

1,5X₁ + 2,5X₂ =40 horas de planchado.

4X₁ + 6X₂ ≤ 50 horas de máquina.

X₁, X₂ ≥ 0

Solución Método Simplex siguiendo los pasos explicados:

1. Convertir las desigualdades en igualdades.

3X₁ + 5X₂ –h₁= 30.

1,5X₁ + 2,5X₂ = 40.

4X₁ + 6X₂ + h₂= 50

X₁, X₂, h₁, h₂ ≥ 0

Z (max)= 50X₁ + 30X₂ + 0h₁ +0h₂

2. Conseguir la matriz identidad dentro de la matriz tecnológica añadiendo las variables artificiales que sean necesarias.

3X₁ + 5X₂ –h₁ + Xa₁= 30

1,5X₁ + 2,5X₂ + Xa₂ = 40

4X₁ + 6X₂ + h₂ =50

X₁, X₂, h₁, h₂, Xa₁, Xa₂ ≥ 0

Z (max) = 50X₁ + 30X₂ + 0h₁ +0h₂ –MXa₁ –MXa₂

3. El programa base está formado por aquellas variables cuyos coeficientes forman la matriz identidad Xa₁, Xa₂, h₂
   
   

4. y 5. Dibujar la tabla y rellenarla. En Pi (la segunda columna del programa efectuable) se colocan las variables del programa base. En Ci (la primera columna del programa efectuable) los rendimientos directos de las variables del programa base y en Xi (la tercera columna del program efectualble) el vector existencia formada por la cantidad de recursos limitados de cada una de las restricciones. En Ci (la fila del cuerpo central de la tabla) se colocan cada uno de los rendimientos directos correspondientes a cada variable y en el resto de la tabla (en su cuerpo central) los coeficientes de cada una de las variables que representan la matriz tecnológica.

6. Calcular los Zi, multiplicando los rendimientos directos del programa efectuable por el vector proceso i. Por ejemplo: Z1= -M*3 + (-M)*1,5 + 0*4= -4,5M; Z2= -M*5 + (-M)*2,5 + 0*6= -3,5M y así sucesivamente

7. Calcular los rendimientos marginales. Wi = Ci – Zi

8. No hemos llegado al óptimo porque existen rendimientos marginales positivos y estamos maximizando, lo que quiere decir que es posible aumentar el beneficio total del programa, por lo tanto continuamos con el paso 9.




9. Se elije para entrar el proceso 2 (P₂) puesto que es el que tiene mayor rendimiento marginal positivo (por lo tanto es el que más aumentaría el beneficio) y como estamos maximizando el objetivo es conseguir el mayor rendimiento posible.

10. Para saber que variable saldría del programa efectuable para que, en su lugar, entre P2, se divide el nivel de la variable (columna Xi) entre vector proceso que entra (columna P2): 30/5= 6; 40/2,5= 16; 50/6= 8,33. Sale aquel proceso con menor cociente positivo por lo tanto el primero, Xa_1.

11. Cambiar los procesos del programa efectuable, P2 en el lugar de Xa₁

12. Calcular la fila del P_{2 ,} dividiendo la fila de Xa₁ (proceso que sale) de la tabla antigua entre el pivotte es 5 (el número que cruza en la tabla antigua entre el proceso que entra P2 y el proceso que sale Xa₁ )

13. Calcular el resto de las filas, con un semipivotte para la fila de Xa2 de 2,5 (número que cruza en la tabla antigua entre P2 y Xa₂ ) y para la fila de h2 de 6 (número que cruza en la tabla antigua entre P2 y h2)

14. Se vuelven a calcular los rendimientos indirectos y se repite el proceso hasta llegar al óptimo. Como el objetivo es maximizar los beneficios, se habrá alcanzado el óptimo cuando todos los rendimientos marginales sean negativos y cero.


Supongamos que hemos llegado a la siguiente tabla óptima y la interpretamos.

NOTA: esta tabla no está calculada, es ficticia, es sólo para explicar como se interpretan las tablas óptimas del simplex.

Todas las variables que no formen parte del programa efectuable son cero. Jamás se puede llegar al óptimo con variables artificiales en el programa efectuable puesto que no tienen significado económico.

X₁= 25 pañuelos de seda a fabricar a la semana.

X₂= 31 pañuelos de algodón a fabricar a la semana.

H₁ = 0 metros de hilo de sobrecapacidad, es decir, la empresa no usa nada por encima del mínimo exigido, por lo tanto utiliza un total de 30 metros de hilo.

H₂ =10 horas máquinas de capacidad ociosa, es decir, a la empresa le sobran 10 horas de las 50 horas máximas establecidas, por lo tanto utiliza un total de 40 horas máquinas.

Xa₁=Xa₂=0 no tiene significado económico.

Z (max) = 50*25 + 30*31 + 0*0 + 0*10 –M*0 –M*0 = 2.180 euros es el máximo beneficio de la empresa con las condiciones dadas.

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Ejemplo de cálculo del TIR como método para valorar proyectos de inversión

Dada la dificultad que tiene el cálculo del TIR de inversión para la valoración de proyectos en este artículo propongo un ejemplo que ilustre los conceptos teóricos expuestos anteriormente.
Ejemplo:

Supongamos los siguientes datos:

A= 10.000, Q₁= 11.000, Q₂= 3.500 y Q₃= 12.600, K= 20% y Valor residual= 1.200

Siendo:

A= Coste de inversión inicial

Qi= Flujos netos de caja, cash-flow, de cada año del proyecto

K= Tasa de actualización o tasa de descuento

Por lo tanto la fórmula del Tir para este proyecto queda de la siguiente manera:

0=-10.000 + 11.000/(1+r) + 3.500/(1+r)² + 12.600/(1+r)³ + 1.200/(1+r)³

Para calcular la r (TIR) serán necesario efectuar tres pasos:

1. Calcular la r de Schneider

rs= (-10.000+11.000+3.500+12.600+1.200)/(1*11.000+2*3.500+3*12.600+3*1.200)

rs= 0,308= 30,8% Esto es una aproximación por defecto de forma que la r que buscamos es, con certeza, mayor que 30,8 %

2. Prueba y error.

Se despeja el coste inicial

10.000 =11.000/(1+r) + 3.500/(1+r)² + 12.600/(1+r)³ + 1.200/(1+r)³

Prueba y error consiste en sustituir, en la fórmula, valores mayores que la r_s para calcular la A que se obtendría con este %, hasta conseguir dos TIR uno que proporcione una A mayor y otro que la proporcione menor que la estimada para este proyecto, de forma que el coste inicial del proyecto quede acotado.

r₀= 31% (Se calcula el valor del coste de inversión inicial con este valor de r sustituyendo en la fórmula que acabamos de despejar)

A₀ =11.000/(1+0,31) + 3.500/(1+0,31)² + 12.600/(1+0,31)³ + 1.200/(1+0,31)³;

A₀= 16.574,99

r₁= 65% A₁ =11.000/(1+0,65) + 3.500/(1+0,65)² + 12.600/(1+0,65)³ + 1.200/(1+0,65)³;

A₁= 11.024,29

r₂= 85% A₂ =11.000/(1+0,85) + 3.500/(1+0,85)² + 12.600/(1+0,85)³ + 1.200/(1+0,85)³;

A₂= 9.148,12

Como la A de nuestro proyecto tiene un valor de 10.000 euros, se encuentra entre A1 y A2 por lo tanto el TIR que buscamos está comprendido entre 65% y 85%

3.Interpolación.

Utilizando la regla de los triángulos rectángulos de sus lados proporcionales obtenemos lo siguiente:

(A_{1 –} A₂)/(A - A₂)= (r_{2 –} r₁)/(r₂ - r); (11.024, 29 – 9.148,12)/(10.000 – 9.148,12)=(85 – 65)/(85 - r)

Se despeja el valor de r y ya tenemos el TIR de este proyecto. r=75,91% , la rentabilidad mínima del proyecto con las condiciones dadas es de 75,9%

Por lo tanto, la rentabilidad relativa neta (r_n) = r – K = 75,91 – 20 = 55,91

Por lo tanto, como la rentabilidad relativa neta es positiva, esto quiere decir que la rentabilidad de este proyecto es mayor que el interés o rentabilidad media del mercado, por lo que el proyecto interesa llevarse a cabo.

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Método de Valoración de Proyectos de Inversión - Tasa Interna de Rendimiento (TIR)

Como se ha comentado en artículos anteriores para llevar a cabo un proyecto de inversión es necesario hacer una valoración previa para comprobar la viabilidad de la propuesta.
Para valorar los proyectos de inversión existen básicamente tres método:
1. VAN, Valor Actualización Neto, también conocido como Rentabilidad Absoluta Neta.
2. PR, Plazo de Recuperación, también llamado Pay Back.
3. TIR, Tanto (tasa) Interno de Rendimiento o Rentabilidad Relativa Bruta.

En este caso nos centraremos en el estudio y análisis de este último, el TIR.

El Tanto interno de rendimiento (r) Representa la tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad de una inversión, no es más que el interés con el cuál el VAN es igual a cero, e indica la rentabilidad mínima en porcentaje que un inversor le exigiría a un proyecto.

Para decidir si el proyecto es interesante es necesario comparar la rentabilidad relativa bruta (r) con el coste de capital y obtener la Rentabilidad Relativa Neta (r_n).

r_n=r-K

De forma que, el inversor está comparando el % mínimo de rendimiento que le proporcionará el proyecto frente al % que le podría dar cualquier otra inversión. Se trata, de manera simplificada, de valorar el proyecto en función del coste de oportunidad.

Ejemplo:

Si r= 10% y K (tasa de actualización)= 15%, r_n= 5%

Con estos datos lo que estaríamos diciendo es que el proyecto al que le correspondiera este TIR proporcionaría una rentabilidad mínima del 10%, mientras que el interés medio del mercado tiene un rendimiento del 15%. En este caso al inversor no le interesaría invertir su dinero en este proyecto puesto que podría obtener más en otras inversiones.

En definitiva,

Si r_n>o el proyecto interesa.

Si r_n<o el proyecto no interesa.

Si r_n=0 el proyecto resulta indiferente.

Como ya se ha comentado en artículos anteriores la decisión depende en cualquier caso del inversor y de su actitud ante el riesgo.

La interpretación de los resultados, como puede observarse es sencilla y clara, es problema de este método está en la dificultad del calculo del TIR.

Para calcular de la Rentabilidad Relativa Bruta utilizamos la siguientes fórmulas dependiendo de cómo sean los Cash flow(Qi) y la tasa de actualización (K)

• Si Q no es constante.
  

• Si Q es constante.
  

• Si Q es constante y n (horizonte temporal) tiende a infinito

Para todas estas fórmulas sean:

A= Coste inicial de la inversión.

Qi= Cash flow o Flujos netos de caja.

Vr= Valor residual.

En la tercera opción sólo sería necesario despejar la r para conocer su valor, sin embargo en los dos anteriores hay que realizar un proceso que resumimos en 3 pasos:

1. Calcula la aproximación de Schneider. Se trata de una aproximación por defecto (esto quiere decir que el valor del TIR que estamos buscando será siempre mayor que la r_s) que se calcula con la formula que está a continuación.

r_s = (-A + Q₁+Q₂+Q₃+…+Q_n+ Vr)/(1*Q₁ + 2*Q₂+3*Q₃+…+n*Q_n +nVr)

Prueba y error. Probar con r, mayores que la r_s, hasta acotar el coste de la inversión entre dos. (ver ejemplo posterior)

Interpolación.

Se han formado dos triángulos. Uno con los segmentos A₁ a A₂ y r₁ a r₂ y otro con A a A₂ y r a r_2.

Por lo tanto, utilizando la propiedad de los triángulos rectángulos de que sus lados son proporcionales (lado grande en vertical entre lado pequeño en vertical es igual a lado grande en horizontal entre lado pequeño en horizontal) tendremos una formula de donde se podrá despejar el valor de r.

VENTAJAS del TIR para la valoración de proyectos:

• Tiene en cuenta el cambio del valor del dinero en el tiempo.
• Su interpretación es sencilla e intuitiva.
• Es muy flexible permitiendo introducir en el criterio cualquier variable que pueda afectar a la inversión, como la inflación, la incertidumbre, la fiscalidad…

INCONVENIENTES del TIR para la valoración de proyectos:

• Su cálculo es difícil y se complica cuanto mayor sea el número de años del horizonte temporal del proyecto.
• No tiene en cuenta los cambios del mercado o de circunstancias de la empresa durante el proyecto.
  
  

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Teoría de las Cadenas de Markov

Una cadena de Markov es una serie de acontecimientos, en la cual la probabilidad de que ocurra uno de ellos depende del inmediatamente anterior y éste último condiciona los futuros acontecimientos.

Esta dependencia de lo anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de acontecimientos independientes como podrían ser tirar un dado o una moneda.

El modelo de Markov es una herramienta ideal para analizar el comportamiento de determinados tipos de procesos estocásticos (un conjunto de variables aleatorias que evolucionan en función de otra variable que suele ser el tiempo) y con número finito de acontecimientos posibles. Representa un sistema que varía su estado a lo largo del tiempo. Dichos cambios no están predeterminados, aunque sí lo está la probabilidad del próximo estado en función de los estados anteriores. Probabilidad que es constante y homogénea, a lo largo del tiempo.

Las cadenas de Markov se dicen homogénea si la probabilidad de ir del estado i (la alternativa i) al estado j (alternativa j), del momento n al momento n+1, no depende del tiempo en el que se encuentra la cadena.

Las cadenas de Markov parten de la base de una matriz de transición constante en el tiempo, es decir, de un conjunto de probabilidades de “consumir" la opción i dependiendo de lo que se ha “consumido” anteriormente.

Por todo ello, las cadenas o modelo de Markov, se aplican habitualmente:

• En la dinámica de las averías de las máquinas de una fábrica para tomar decisiones sobre la política de mantenimiento.
• En la evolución de ciertas enfermedades.
• En el estudio del comportamiento futuro del consumidor siempre y cuando se trate de compras esporádicas donde se tiene en cuenta la experiencia anterior y donde se conozca: comportamiento actual del comprador, las alternativas entre las que puede elegir y su intención de cambio de unas a otras.

Esta herramienta es especialmente útil, y en ellos nos se centrarán próximos artículos, para prever el número de consumidores de una marca determinada siempre y cuando no cambien las condiciones de mercado dadas. Sin embargo, no será posible conocer, con este modelo, los motivos por los que aumentan o disminuyen el número de compradores ni dará solución alguna ante una eventualidad. Se trata, únicamente de una estimación de la cantidad de consumo futuro con un número total de consumidores constante y unas alternativas iguales y permanentes para todos ellos.