jueves, 12 de julio de 2012

Método Simplex para la Resolución de Programación Lineal. Conceptos

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Como ya hemos comentado en otros artículos el subsistema de producción, entre otras funciones, tiene como objetivo calcular la cantidad de productos que debe fabricar para maximizar el beneficio y/o minimizar los costes con los recursos limitados dados.

Para ello, se utiliza habitualmente la Programación lineal (PL), que consiste en plantear una serie de inecuaciones con la cantidad de recursos disponibles para la empresa, con la intención de calcular la producción óptima. 

Para la resolución del sistema de Programación lineal hay dos métodos:

1. Método Gráfico

2. Método Simplex. En este artículo nos centraremos en la explicación de los conceptos de este método.

El método simplex es un sistema reiterativo que consiste, básicamente, en encontrar la solución óptima con las condiciones dadas partiendo de un programa base.

Conceptos necesarios además de los ya vistos en el documento de programación lineal:

1. Rendimiento indirecto. Se representa con Zi siendo i=1,…, n. Se calcula multiplicando el rendimiento directo del programa efectuable por el vector proceso i.

2. Rendimiento marginal. Se nombra con Wi con i=1,…, n y representa el cambio del rendimiento del programa si se fabrica una unidad añadida.Se calcula restando a los rendimientos directos (Ci) de cada proceso, los rendimientos indirectos (Zi) de ese mismo proceso (Wi=Ci-Zi). Este rendimiento es clave para saber si la solución es óptima, de forma que se habrá llegado al óptimo:

      a. Si el objetivo es maximizar beneficios cuando todos los rendimientos marginales sean         negativos o cero.

    b. Si el objetivo es minimizar costes cuando todos los rendimientos marginales sean positivos o cero.

3. Programa de producción. Es la transformación de las materias primas en productos terminados. 

4. Programa base. Es la primera solución, se obtiene de la matriz identidad. Generalmente siempre es susceptible de mejora.

5. Programa óptimo. Es la última de las soluciones que se obtiene tras el proceso de resolución completo. Es la mejor opción posible con las condiciones dadas.

6. Programa efectuable. Engloba todas las soluciones posibles, es decir, cualquier alternativa que cumpla todas las restricciones desde la base hasta la óptima, ambas inclusivas.

7. Programa alternativo. Es una solución con el mismo rendimiento que la óptima pero con distinta combinación de productos. Su rendimiento marginal es cero.

8. Programa degenerado. Es cuando el número de variables distintas de cero es menor que el número de procesos del programa efectuable.

9. Variables de holgura. Se pueden representar con Xh ó hj ó Hj  siendo j=1,.., m. Su rendimiento directo es siempre cero salvo que existan capacidades ociosas o sobrecapacidades con beneficios o costes. Se utilizan para convertir las desigualdades en igualdades y poder resolver el sistema por el método simplex de forma que:

     a. Si la restricción es mayor o igual la holgura restará. En este caso la variable implica la existencia de una sobrecapacidad en ese recurso limitado.

     b. Si la restricción es  menor o igual la holgura sumará. En este caso la variable implica la existencia de una capacidad ociosa en ese recurso limitado. 

    c. Si la restricción es una igualdad no será necesario la holgura. En este caso se utilizará toda la cantidad de recurso limitado disponible.

10. Variables artificiales. Se pueden representar con Xa ó aj ó Aj. siendo j=1,…, m. Su rendimiento directo es infinito (M) adaptando su signo según si el objetivo es maximizar (-M) o minimizar (+M). No tienen ningún significado económico. Se utilizan para conseguir la matriz identidad dentro de la matriz tecnológica y obtener el programa base de forma que:

     a. Si la variable de holgura suma nunca será necesario introducir una variable artificial.

    b. Si la variable de holgura resta será necesario introducir una variable artificial siempre y cuando no se consiga la matriz identidad con las variables reales.

   c. Si la restricción es una igualdad, y por lo tanto no existen variables de holgura, será necesario introducir una variable artificial siempre y cuando no se consiga la matriz identidad con las variables reales.

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