lunes, 18 de junio de 2012

Teoría de Programación Lineal

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El subsistema de producción de la empresa es uno de los que más necesita una planificación adecuada para evitar tanto los cuellos de botellas (retrasos en lo previsto sean por motivos técnicos o humanos) como las capacidades ociosas (exceso de tiempo sobrante ya sea en maquinaria o en mano de obra).
Si la empresa trabaja en una configuración productiva, bien continúa o bien por lotes (ya sea línea, batch o talleres) es fundamental organizar la cantidad a fabricar para obtener el máximo beneficio o el mínimo coste con los recursos de que dispone. Para solucionar este problema la empresa puede utilizar el Método de Programación Lineal (PL).
La Programación Lineal es un procedimiento matemático donde se plantean una serie de inecuaciones (restricciones) y una Función objetivo bien sea para maximizar sus beneficios o para minimizar sus costes.
Este sistema de inecuaciones al resolverse permite a la empresa conocer, con las condiciones dadas, cuánto producir con sus recursos disponibles para alcanzar el objetivo establecido.
Para resolver el sistema se pueden utilizar dos métodos:
  1. Método Gráfico. Se dibujan las restricciones en un eje de coordenadas. Se acota el área restringida y se calcula el punto de dicho área que hace que la función objetivo obtenga el mínimo coste o el máximo beneficio según cual sea el objetivo de la empresa.
  2. Método Simplex. Es un proceso reiterativo en el que se comienza por un programa base y se va mejorando hasta llegar al programa óptimo con las condiciones dadas
Para poder utilizar Método de Programación Lineal es necesario conocer una serie de conceptos:
  1. Recursos ilimitados. Son aquellos recursos de los que la empresa dispone de la cantidad que necesite. No se tendrán en cuenta en la resolución al no suponer ningún tipo de restricción.
  2. Recursos limitados (bj siendo j=1,…, m ). Son aquellos recursos de los que la empresa dispone de una cantidad concreta. Estos son los que hay que tener en cuenta para la planificación de la producción.
    Supongamos que la empresa se dedica a hacer pasteles, pues sus recursos limitados podrían ser:
    b1=azúcar; b2= harina; b3=chocolate; b4=mano de obra
  3. Vector existencia (Po). Es un vector columna formado por las disponibilidades de los recursos limitados.
    Supongamos que los limites de los recursos son: 30 Kg de azucar; 2 sacos de harina; 10.000 gramos de chocolate y 400 horas de mano de obra, todo ello para un periodo semanal.
    Vector-existencia

  4. Nivel de la variable (Xi siendo i=1,…, n ). Representa el número de veces que se realiza un proceso determinado, es decir, el número de productos de cada tipo que se fabrica en la empresa. Es la incógnita del problema. Para poder resolver el sistema su definición tiene que ser muy clara y precisa.
    Sea por ejemplo:
    X1= número de pasteles rellenos de crema a fabricar por la empresa a la semana.
    X2= número de pasteles rellenos de chocolate a fabricar por la empresa a la semana.
    X3=número de cajas de una docena de pasteles de almendra a fabricar por la empresa a la semana.
  5. Vector proceso (Pi siendo i=1,…, n ). Es un vector columna formado por aij siendo i=1,…, n y j=1,…, m. Las aij son la cantidad de recurso limitado j para la fabricación de un producto i, por lo tanto el Pi representa las cantidades de recursos limitados necesarios para fabricar un producto i.
    Por ejemplo:
    a11= 0,01; Esto quiere decir, 0,01 Kg de azúcar se necesita para un pastel relleno de crema.
    A23= 300; Esto quiere decir, 300 gramos de chocolate se necesita para un pastel relleno de chocolate.
    a34=1,5; Esto quiere decir, 1,5 horas de mano de obra se necesita para una caja de pasteles de almendra.
Vector-proceso
  1. Matriz tecnológica (Mt). Es una matriz formada por todos los vectores procesos.
    Matriz-tecnologica

  2. Restricción de no negatividad. El sistema tiene que ser forzado a que las variables sean todas positivas o cero. Se coloca al final del resto de las restricciones de la siguiente forma Xi ≥ 0 siendo i=1,…, n.
  3. Rendimiento directo (Ci siendo i=1,…, n). Representa el beneficio o el coste (dependiendo de si el objetivo es maximizar beneficios o minimizar costes respectivamente) de cada unidad fabricada.
    Supongamos que el objetivo de nuestro ejemplo es maximizar beneficios,
    C1= 0,3. El beneficio de cada pastel relleno de crema es de 0,3 euros
    C2= 0,25. El beneficio de cada pastel relleno de chocolate es de 0,25 euros
    C3= 1,2. El beneficio de cada caja de pasteles de almendra es de 1,20 euros.
  4. Rendimiento del programa (Z). Se le denomina Función Objetivo. Es el beneficio o coste total (según si el objetivo es maximizar beneficios o minimizar costes respectivamente).
Z= C1*X1 + C2*X2 + C3*X3 +… + Cn*Xn
En nuestro ejemplo Z=0,3*X1 + 0,25*X2 + 1,2*X3
  1. Planteamiento del sistema de inecuaciones en Programación lineal:
    Función objetivo: Z= C1*X1 + C2*X2 + C3*X3 +….+ Cn*Xn
         Sujeto a (restricciones):
                      a11X1 + a21X2 + a31X3 +… + an1Xn ≤ b1
                      a12X1 + a22X2 + a32X3 +… +an2Xn ≤ b2
                       ..........
                       ...........
                     a1mX1 + a2mX2 + a3mX3 +… + anmXn ≤ bm
           Restricción de no negatividad:
                    Xi ≥ 0 ∀ i= 1,…, n.

Ejemplo

Una empresa que fabrica corbatas de dos calidades seda y algodón quiere saber qué cantidad de cada corbata le interesa fabricar la próxima semana para maximizar su beneficio sabiendo los siguientes datos por cada unidad producida:





Hilo(metros)
Horas planchado
Horas máquina
Beneficio
Corbata de seda
3
1,5
4
50
Corbata de algodón
5
2,5
6
30
Disponibilidad
Mínimo 30
Igual 40
Máximo 50




Planteamiento

X1 = Número de corbatas de seda a fabricar en la empresa a la semana.
X2 = Número de corbatas de algodón a fabricar en la empresa a la semana.

Z (max) = 50X1 + 30X2

s. a.

3X1 + 5X2 ≥ 30 metros de hilo.
1,5X1 + 2,5X2 =40 horas de planchado.
4X1 + 6X2 ≤ 50 horas de máquina.

X1, X2 ≥ 0


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